Начальный уровень
Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:
Числовая последовательность
Например, для нашей последовательности:
Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.
Число с номером называется -ным членом последовательности.
Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .
В нашем случае:
Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна.
Например:
и т.д.
Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.
Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается.
Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:
a)
b)
c)
d)
Разобрался? Сравним наши ответы:
Является
арифметической прогрессией - b, c.
Не является
арифметической прогрессией - a, d.
Вернемся к заданной прогрессии () и попробуем найти значение ее -го члена. Существует два способа его нахождения.
1. Способ
Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии, пока не дойдем до -го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного - всего три значения:
Итак, -ой член описанной арифметической прогрессии равен.
2. Способ
А что если нам нужно было бы найти значение -го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.
Разумеется, математики придумали способ, при котором не нужно прибавлять разность арифметической прогрессии к предыдущему значению. Присмотрись внимательно к нарисованному рисунку… Наверняка ты уже заметил некую закономерность, а именно:
Например, посмотрим, из чего складывается значение -го члена данной арифметической прогрессии:
Иными словами:
Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена данной арифметической прогрессии.
Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:
Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу - приведем ее в общий вид и получим:
Уравнение арифметической прогрессии. |
Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие.
Возрастающие
- прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.
Например:
Убывающие
- прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.
Например:
Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.
Проверим это на практике.
Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: Проверим, какое получится -ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:
Так как, то:
Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.
Попробуй самостоятельно найти -ой и -ый члены этой арифметической прогрессии.
Сравним полученные результаты:
Усложним задачу - выведем свойство арифметической прогрессии.
Допустим, нам дано такое условие:
- арифметическая прогрессия, найти значение.
Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:
Пусть, а, тогда:
Абсолютно верно. Получается, мы сначала находим, потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое. Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа? Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.
А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы? Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.
Обозначим искомый член арифметической прогрессии как, формула его нахождения нам известна - это та самая формула, выведенная нами в начале:
, тогда:
Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:
Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии - это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними. Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на.
Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал. Посчитай значение для прогрессии самостоятельно, ведь это совсем несложно.
Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все! Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» - Карл Гаусс...
Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от до (по другим источникам до) включительно». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…
Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.
Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из -ти членов: Нам необходимо найти сумму данных членов арифметической прогрессии. Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ее членов, как это искал Гаусс?
Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.
Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны
А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии? Конечно, ровно половина всех чисел, то есть.
Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна, а подобных равных пар, мы получаем, что общая сумма равна:
.
Таким образом, формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:
В некоторых задачах нам неизвестен -й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу -го члена.
Что у тебя получилось?
Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма чисел, начиная от -го, и сумма чисел начиная от -го.
Сколько у тебя получилось?
У Гаусса получилось, что сумма членов равна, а сумма членов. Так ли ты решал?
На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.
Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени - строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.
Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.
Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется блочных кирпичей. Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?
В данном случае прогрессия выглядит следующим образом: .
Разность арифметической прогрессии.
Количество членов арифметической прогрессии.
Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).
Способ 1.
Способ 2.
А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде. Сошлось? Молодец, ты освоил сумму -ных членов арифметической прогрессии.
Конечно, из блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из? Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.
Справился?
Верный ответ - блоков:
Задачи:
Ответы:
Ответ: Через две недели Маша должна приседать раз в день.
В числах действительно содержится нечетных чисел.
Имеющиеся данные подставим в формулу:
Ответ: Сумма всех нечетных чисел, содержащихся в, равна.
Ответ: В кладке находится бревен.
Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.
Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.
Число с номером называется -ым членом последовательности.
Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .
Очень удобно, если -ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула
задает последовательность:
А формула - такую последовательность:
Например, арифметической прогрессией является последовательность (первый член здесь равен, а разность). Или (, разность).
Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать -ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:
Чтобы найти по такой формуле, например, -ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть. Тогда:
Ну что, ясно теперь какая формула?
В каждой строке мы к прибавляем, умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус:
Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:
Реши сам:
В арифметической прогрессии найти формулу n-го члена и найти сотый член.
Решение:
Первый член равен. А чему равна разность? А вот чему:
(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).
Итак, формула:
Тогда сотый член равен:
Чему равна сумма всех натуральных чисел от до?
По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна, сумма второго и предпоследнего - тоже, сумма третьего и 3-го с конца - тоже, и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть. Итак,
Общая формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:
Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных.
Решение:
Первое такое число - это. Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа. Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.
Формула -го члена для этой прогрессии:
Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?
Очень легко: .
Последний член прогрессии будет равен. Тогда сумма:
Ответ: .
Теперь реши сам:
Ответы:
Корень, очевидно, не подходит, значит, ответ.
Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы -го члена:
(км).
Ответ:
Это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна.
Арифметическая прогрессия бывает возрастающей () и убывающей ().
Например:
записывается формулой, где - количество чисел в прогрессии.
Оно позволяет легко найти член прогрессии, если известны его соседние члены - где - количество чисел в прогрессии.
Существует два способа нахождения суммы:
Где - количество значений.
Где - количество значений.
Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.
Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, - папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) - содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».
И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на квадрату 1/2 числа членов».
Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).
Последовательность может быть бесконечной или конечной.
А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.
Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.
Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.
Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:
an =kn+b, при этом b и k - некоторые числа.
Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:
Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k - числа прогрессии).
В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:
К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177
Формула an = ak + d(n - k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.
Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:
Sn = (a1+an) n/2.
Если известны и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:
Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.
Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,...,n,...- простейший пример арифметической прогрессии.
Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.
Кто-то к слову «прогрессия» относится настороженно, как к очень сложному термину из разделов высшей математики. А между тем самая простая арифметическая прогрессия - работа счётчика такси (где они ещё остались). И понять суть (а в математике нет ничего важнее, чем «понять суть») арифметической последовательности не так сложно, разобрав несколько элементарных понятий.
Числовой последовательностью принято именовать какой-либо ряд чисел, каждое из которых имеет свой номер.
а 1 - первый член последовательности;
а 2 - второй член последовательности;
а 7 - седьмой член последовательности;
а n - n-ный член последовательности;
Однако не любой произвольный набор цифр и чисел интересует нас. Наше внимание сосредоточим на числовой последовательности, у которой значение n-ного члена связано с его порядковым номером зависимостью, которую можно чётко сформулировать математически. Иными словами: численное значение n-ного номера является какой-либо функцией от n.
a - значение члена числовой последовательности;
n - его порядковый номер;
f(n) - функция, где порядковый номер в числовой последовательности n является аргументом.
Арифметической прогрессией принято именовать числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Формула n-ного члена арифметической последовательности выглядит следующим образом:
a n - значение текущего члена арифметической прогрессии;
a n+1 - формула следующего числа;
d - разность (определённое число).
Нетрудно определить, что если разность положительна (d>0), то каждый последующий член рассматриваемого ряда будет больше предыдущего и такая арифметическая прогрессия будет возрастающей.
На представленном ниже графике нетрудно проследить, почему числовая последовательность получила название «возрастающая».
В случаях, когда разность отрицательная (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Иногда бывает необходимо определить значение какого-либо произвольного члена a n арифметической прогрессии. Можно сделать это путём расчёта последовательно значений всех членов арифметической прогрессии, начиная с первого до искомого. Однако такой путь не всегда приемлем, если, например, необходимо отыскать значение пятитысячного или восьмимиллионного члена. Традиционный расчёт сильно затянется по времени. Однако конкретная арифметическая прогрессия может быть исследована с помощью определённых формул. Существует и формула n-ного члена: значение любого члена арифметической прогрессии может быть определено как сумма первого члена прогрессии с разностью прогрессии, умноженной на номер искомого члена, уменьшенный на единицу.
Формула универсальна для возрастающей и убывающей прогрессии.
Решим следующую задачу на нахождение значения n-ного члена арифметической прогрессии.
Условие: имеется арифметическая прогрессия с параметрами:
Первый член последовательности равен 3;
Разность числового ряда равняется 1,2.
Задание: необходимо отыскать значение 214 члена
Решение: для определения значения заданного члена воспользуемся формулой:
а(n) = а1 + d(n-1)
Подставив в выражение данные из условия задачи имеем:
а(214) = а1 + d(n-1)
а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Ответ: 214-ый член последовательности раве 258,6.
Преимущества такого способа расчёта очевидны - всё решение занимает не более 2 строчек.
Очень часто в заданном арифметическом ряду требуется определить сумму значений некоторого его отрезка. Для этого также нет необходимости вычислять значения каждого члена и затем суммировать. Такой способ применим, если число членов, сумму которых необходимо найти, невелико. В остальных случаях удобнее воспользоваться следующей формулой.
Сумма членов арифметической прогрессии от 1 до n равна сумме первого и n-ного членов, помноженной на номер члена n и делённой надвое. Если в формуле значение n-ного члена заменить на выражение из предыдущего пункта статьи, получим:
Для примера решим задачу со следующими условиями:
Первый член последовательности равен нулю;
Разность равняется 0,5.
В задаче требуется определить сумму членов ряда с 56-го по 101.
Решение. Воспользуемся формулой определения суммы прогрессии:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Вначале определим сумму значений 101 члена прогрессии, подставив в формулу данные их условия нашей задачи:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Очевидно, для того, чтобы узнать сумму членов прогрессии с 56-го по 101-й, необходимо от S 101 отнять S 55 .
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Таким образом сумма арифметической прогрессии для данного примера:
s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5
В конце статьи вернёмся к примеру арифметической последовательности, приведённому в первом абзаце - таксометр (счётчик автомобиля такси). Рассмотрим такой пример.
Посадка в такси (в которую входит 3 км пробега) стоит 50 рублей. Каждый последующий километр оплачивается из расчёта 22 руб./км. Расстояние поездки 30 км. Рассчитать стоимость поездки.
1. Отбросим первые 3 км, цена которых включена в стоимость посадки.
30 - 3 = 27 км.
2. Дальнейший расчет - не что иное как разбор арифметического числового ряда.
Номер члена - число км пробега (минус первые три).
Значение члена - сумма.
Первый член в данной задаче будет равен a 1 = 50 р.
Разность прогрессии d = 22 р.
интересующее нас число - значение (27+1)-ого члена арифметической прогрессии - показания счётчика в конце 27-го километра - 27,999… = 28 км.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
На формулах, описывающих те или иные числовые последовательности, построены расчёты календарных данных на сколь угодно длительный период. В астрономии в геометрической зависимости от расстояния небесного тела до светила находится длина орбиты. Кроме того, различные числовые ряды с успехом применяются в статистике и других прикладных разделах математики.
Геометрическая прогрессия характеризуется большими, по сравнению с арифметической, темпами изменения. Не случайно в политике, социологии, медицине зачастую, чтобы показать большую скорость распространения того или иного явления, например заболевания при эпидемии, говорят, что процесс развивается в геометрической прогрессии.
N-ный член геометрического числового ряда отличается от предыдущего тем, что он умножается на какое-либо постоянное число - знаменатель, например первый член равен 1, знаменатель соответственно равен 2, тогда:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - значение текущего члена геометрической прогрессии;
b n+1 - формула следующего члена геометрической прогрессии;
q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число).
Если график арифметической прогрессии представляет собой прямую, то геометрическая рисует несколько иную картину:
Как и в случае с арифметической, геометрическая прогрессия имеет формулу значения произвольного члена. Какой-либо n-ный член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель прогрессии в степени n уменьшенного на единицу:
Пример. Имеем геометрическую прогрессию с первым членом равным 3 и знаменателем прогрессии, равным 1,5. Найдём 5-й член прогрессии
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Сумма заданного числа членов рассчитывается так же с помощью специальной формулы. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна разности произведения n- ного члена прогрессии на его знаменатель и первого члена прогрессии, делённой на уменьшенный на единицу знаменатель:
Если b n заменить пользуясь рассмотренной выше формулой, значение суммы n первых членов рассматриваемого числового ряда примет вид:
Пример. Геометрическая прогрессия начинается с первого члена, равного 1. Знаменатель задан равным 3. Найдём сумму первых восьми членов.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
При изучении алгебры в общеобразовательной школе (9 класс) одной из важных тем является изучение числовых последовательностей, к которым относятся прогрессии -геометрическая и арифметическая. В данной статье рассмотрим арифметическую прогрессию и примеры с решениями.
Чтобы это понять, необходимо дать определение рассматриваемой прогрессии, а также привести основные формулы, которые далее будут использованы при решении задач.
Арифметическая или - это такой набор упорядоченных рациональных чисел, каждый член которого отличается от предыдущего на некоторую постоянную величину. Эта величина называется разностью. То есть, зная любой член упорядоченного ряда чисел и разность, можно восстановить всю арифметическую прогрессию.
Приведем пример. Следующая последовательность чисел будет прогрессией арифметической: 4, 8, 12, 16, ..., поскольку разность в этом случае равна 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). А вот набор чисел 3, 5, 8, 12, 17 уже нельзя отнести к рассматриваемому виду прогрессии, поскольку разность для него не является постоянной величиной (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Приведем теперь основные формулы, которые понадобятся для решения задач с использованием арифметической прогрессии. Обозначим символом a n n-й член последовательности, где n - целое число. Разность обозначим латинской буквой d. Тогда справедливы следующие выражения:
Чтобы понять любые примеры арифметической прогрессии с решением в 9 классе, достаточно запомнить эти две формулы, поскольку на их использовании строятся любые задачи рассматриваемого типа. Также следует не забывать, что разность прогрессии определяется по формуле: d = a n - a n-1 .
Приведем простой пример прогрессии арифметической и формул, которые необходимо использовать для решения.
Пусть дана последовательность 10, 8, 6, 4, ..., необходимо в ней найти пять членов.
Из условия задачи уже следует, что первые 4 слагаемых известны. Пятое можно определить двумя способами:
Как видно, оба способа решения привели к одному и тому же результату. Отметим, что в этом примере разность d прогрессии является отрицательной величиной. Такие последовательности называются убывающими, так как каждый следующий член меньше предыдущего.
Теперь усложним немного задачу, приведем пример, как найти разность прогрессии арифметической.
Известно, что в некоторой прогрессии алгебраической 1-й член равен 6, а 7-й член равен 18. Необходимо найти разность и восстановить эту последовательность до 7 члена.
Воспользуемся формулой для определения неизвестного члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Подставим в нее известные данные из условия, то есть числа a 1 и a 7 , имеем: 18 = 6 + 6 * d. Из этого выражения можно легко вычислить разность: d = (18 - 6) /6 = 2. Таким образом, ответили на первую часть задачи.
Чтобы восстановить последовательность до 7 члена, следует воспользоваться определением алгебраической прогрессии, то есть a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и так далее. В итоге восстанавливаем всю последовательность: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Усложним еще сильнее условие задачи. Теперь необходимо ответить на вопрос, как находить арифметическую прогрессию. Можно привести следующий пример: даны два числа, например, - 4 и 5. Необходимо составить прогрессию алгебраическую так, чтобы между этими помещалось еще три члена.
Прежде чем начинать решать эту задачу, необходимо понять, какое место будут занимать заданные числа в будущей прогрессии. Поскольку между ними будут находиться еще три члена, тогда a 1 = -4 и a 5 = 5. Установив это, переходим к задаче, которая аналогична предыдущей. Снова для n-го члена воспользуемся формулой, получим: a 5 = a 1 + 4 * d. Откуда: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Здесь получили не целое значение разности, однако оно является рациональным числом, поэтому формулы для алгебраической прогрессии остаются теми же самыми.
Теперь добавим найденную разность к a 1 и восстановим недостающие члены прогрессии. Получаем: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, что совпало с условием задачи.
Продолжим приводить примеры арифметической прогрессии с решением. Во всех предыдущих задачах было известно первое число алгебраической прогрессии. Теперь рассмотрим задачу иного типа: пусть даны два числа, где a 15 = 50 и a 43 = 37. Необходимо найти, с какого числа начинается эта последовательность.
Формулы, которыми пользовались до настоящего времени, предполагают знание a 1 и d. В условии задачи об этих числах ничего неизвестно. Тем не менее выпишем выражения для каждого члена, о котором имеется информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получили два уравнения, в которых 2 неизвестные величины (a 1 и d). Это означает, что задача сводится к решению системы линейных уравнений.
Указанную систему проще всего решить, если выразить в каждом уравнении a 1 , а затем сравнить полученные выражения. Первое уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второе уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнивая эти выражения, получим: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откуда разность d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (приведены лишь 3 знака точности после запятой).
Зная d, можно воспользоваться любым из 2 приведенных выше выражений для a 1 . Например, первым: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Если возникают сомнения в полученном результате, можно его проверить, например, определить 43 член прогрессии, который задан в условии. Получим: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Небольшая погрешность связана с тем, что при вычислениях использовалось округление до тысячных долей.
Теперь рассмотрим несколько примеров с решениями на сумму арифметической прогрессии.
Пусть дана числовая прогрессия следующего вида: 1, 2, 3, 4, ...,. Как рассчитать сумму 100 этих чисел?
Благодаря развитию компьютерных технологий можно эту задачку решить, то есть последовательно сложить все числа, что вычислительная машина сделает сразу же, как только человек нажмет клавишу Enter. Однако задачу можно решить в уме, если обратить внимание, что представленный ряд чисел является прогрессией алгебраической, причем ее разность равна 1. Применяя формулу для суммы, получаем: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Любопытно отметить, что эта задача носит название "гауссовой", поскольку в начале XVIII века знаменитый немецкий еще будучи в возрасте всего 10 лет, смог решить ее в уме за несколько секунд. Мальчик не знал формулы для суммы алгебраической прогрессии, но он заметил, что если складывать попарно числа, находящиеся на краях последовательности, то получается всегда один результат, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а поскольку этих сумм будет ровно 50 (100 / 2), то для получения правильного ответа достаточно умножить 50 на 101.
Еще одним типичным примером суммы арифметической прогрессии является следующий: дан такой чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., нужно найти, чему будет равна сумма его членов с 8 по 14.
Задача решается двумя способами. Первый из них предполагает нахождение неизвестных членов с 8 по 14, а затем их последовательное суммирование. Поскольку слагаемых немного, то такой способ не является достаточно трудоемким. Тем не менее предлагается решить эту задачу вторым методом, который является более универсальным.
Идея заключается в получении формулы для суммы алгебраической прогрессии между членами m и n, где n > m - целые числа. Выпишем для обоих случаев два выражения для суммы:
Поскольку n > m, то очевидно, что 2 сумма включает в себя первую. Последнее умозаключение означает, что если взять разность между этими суммами, и добавить к ней член a m (в случае взятия разности он вычитается из суммы S n), то получим необходимый ответ на задачу. Имеем: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m/2). В это выражение необходимо подставить формулы для a n и a m . Тогда получим: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Полученная формула является несколько громоздкой, тем не менее сумма S mn зависит только от n, m, a 1 и d. В нашем случае a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Подставляя эти числа, получим: S mn = 301.
Как видно из приведенных решений, все задачи основываются на знании выражения для n-го члена и формулы для суммы набора первых слагаемых. Перед тем как приступить к решению любой из этих задач, рекомендуется внимательно прочитать условие, ясно понять, что требуется найти, и лишь затем приступать к решению.
Еще один совет заключается в стремлении к простоте, то есть если можно ответить на вопрос, не применяя сложные математические выкладки, то необходимо поступать именно так, поскольку в этом случае вероятность допустить ошибку меньше. Например, в примере арифметической прогрессии с решением №6 можно было бы остановиться на формуле S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m , и разбить общую задачу на отдельные подзадачи (в данном случае сначала найти члены a n и a m).
Если возникают сомнения в полученном результате, то рекомендуется его проверять, как это было сделано в некоторых приведенных примерах. Как находить арифметическую прогрессию, выяснили. Если разобраться, то это не так сложно.
Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию , рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия - это частный случай числовой последовательности.
Числовая последовательность - это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер . Элементы этого множества называются членами последовательности. Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:
Первый элемент последовательности;
Пятый элемент последовательности;
- "энный" элемент последовательности, т.е. элемент, "стоящий в очереди" под номером n.
Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность - это функция от натурального аргумента:
Последовательность можно задать тремя способами:
1 . Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.
Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:
В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй - время в минутах. Мы видим, что , то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут, , то есть в четверг - 248 минут, а , то есть в пятницу всего 15.
2 . Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.
В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.
Например, если , то
Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.
То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо в уравнение функции:
Если, например, , то
Ещё раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.
3 . Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.
Например, рассмотрим последовательность ,
Мы можем находить значения членов последовательности один за другим , начиная с третьего:
То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным , от латинского слова recurro - возвращаться.
Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это простой частный случай числовой последовательности.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
Число называется разностью арифметической прогрессии . Разность арифметической прогрессии может быть положительной, отрицательной, или равной нулю.
Если title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является возрастающей .
Например, 2; 5; 8; 11;...
Если , то каждый член арифметической прогрессии меньше предыдущего, и прогрессия является убывающей .
Например, 2; -1; -4; -7;...
Если , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и прогрессия является стационарной .
Например, 2;2;2;2;...
Основное свойство арифметической прогрессии:
Посмотрим на рисунок.
Мы видим, что
, и в то же время
Сложив эти два равенства, получим:
.
Разделим обе части равенства на 2:
Итак, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних:
Больше того, так как
, и в то же время
, то
, и, следовательно,
Каждый член арифметической прогрессии, начиная с title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
Формула го члена.
Мы видим, что для членов арифметической прогрессии выполняются соотношения:
и, наконец,
Мы получили формулу n-го члена.
ВАЖНО! Любой член арифметической прогрессии можно выразить через и . Зная первый член и разность арифметической прогрессии можно найти любой её член.
Сумма n членов арифметической прогрессии.
В произвольной арифметический прогрессии суммы членов, равноотстоящих от крайних равны между собой:
Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой n членов. Пусть сумма n членов этой прогрессии равна .
Расположим члены прогрессии сначала в порядке возрастания номеров, а затем в порядке убывания:
Сложим попарно:
Сумма в каждой скобке равна , число пар равно n.
Получаем:
Итак, сумму n членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:
Рассмотрим решение задач на арифметическую прогрессию .
1 . Последовательность задана формулой n-го члена: . Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.
Докажем, что разность между двумя соседними членами последовательности равна одному и тому же числу.
Мы получили, что разность двух соседних членов последовательности не зависит от их номера и является константой. Следовательно, по определению, эта последовательность является арифметической прогрессией.
2 . Дана арифметическая прогрессия -31; -27;...
а) Найдите 31 член прогрессии.
б) Определите, входит ли в данную прогрессию число 41.
а) Мы видим, что ;
Запишем формулу n-го члена для нашей прогрессии.
В общем случае
В нашем случае , поэтому
Получаем:
б) Предположим, что число 41 является членом последовательности. Найдем его номер. Для этого решим уравнение:
Мы получили натуральное значение n, следовательно, да, число 41 является членом прогрессии. Если бы найденное значение n не было бы натуральным числом, то мы бы ответили, что число 41 НЕ является членом прогрессии.
3 . а) Между числами 2 и 8 вставьте 4 числа так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию.
б) Найдите сумму членов полученной прогрессии.
а) Вставим между числами 2 и 8 четыре числа:
Мы получили арифметическую прогрессию, в которой 6 членов.
Найдем разность этой прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена:
Теперь легко найти значения чисел:
3,2; 4,4; 5,6; 6,8
б)
Ответ: а) да; б) 30
4. Грузовик перевозит партию щебня массой 240 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на двенадцатый день, если вся работа была выполнена за 15 дней.
По условию задачи количество щебня, которое перевозит грузовик, каждый день увеличивается на одно и то же число. Следовательно, мы имеем дело с арифметической прогрессией.
Сформулируем эту задачу в терминах арифметической прогрессии.
За первый день было перевезено 2 тонны щебня: a_1=2.
Вся работа была выполнена за 15 дней: .
Грузовик перевозит партию щебня массой 240 тонн:
Нам нужно найти .
Сначала найдем разность прогрессии. Воспользуемся формулой суммы n членов прогрессии.
В нашем случае: