Специфика содержания и структура предмета требует широкого применения методов, которые способствуют активизации мышления учащихся, развитию их познавательных способностей и самостоятельности, умения применять полученные знания в различных условиях.
Актуальность работы основана на развитии и повышении интереса учащихся к изучаемому предмету, создает наиболее благоприятные условия для развития познавательных сил учащихся. На сегодняшний день, чтобы вовлечь учащихся в учебу. Необходимы все новые и новые формы урока, где за основу берется познавательный интерес учащихся, а учитель является лишь сотворцом, который приблизит этот интерес к формированию познавательной активности.
Применение компьютерных технологий позволяет значительно снизить трудоемкость обучения и сэкономить время, как учителю, так и школьникам, существенно повышается эффективность обучения и качество формирующих знаний и умений.
Такая форма проведения занятий существенно повышает мотивацию учения, эффективность и продуктивность учебной деятельности, обеспечивает работу всего класса, позволяет учащимся раскрыть свои способности, «раскрепостить» их мышление.
Использование проектора играет не главную роль, но делает урок современным, позволяет экономить время учителя и при подготовке урока и во время проведения.
Как говорят сейчас- улучшает качество жизни, а значит и качество образования.
Дети хотят быть современными и сопричастными к новейшим технологиям
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Тема урока: «Решение систем уравнений второй степени»
Комарова Наталья Алексеевна, учитель математики
Тип урока: урок закрепления полученных знаний
Цели урока:
Обучающие:
развивающие:
воспитательные:
воспитание настойчивости и терпения при выполнении заданий.
Оборудование и материалы : 1) презентация «Решение систем уравнений второй степени»; 2) мультимедийная доска;
3) бланки с тестами самостоятельной работой.
Ход урока
(c использованием презентации )
Слайд 1 .
Учитель: Тема нашего урока « Решение систем уравнений второй степени ».
Сообщить цели урока
2. Проверка знания алгоритмов.
Учитель начинает с вопросов: 1. Что называется решением системы?
2. Что значит решить систему?
Учитель прослушивает ответы и комментирует совпадающие, активизируя совпадающие на слайде2 .
3. Какие способы решения систем уравнений
Нам известны?
Опросить алгоритмы: 1. Способ подстановки Слайд №3 .
2. Способ сложения Слайд № 4.
3. Графический способ Слайд №5.
Учитель задает вопросы: Графический способ обычно
Позволяет находить решения системы
Точно или приближенно?
3. Устная работа
Учитель: Очень часто на ЕГЭ задания формулируется следующим образом:
« Используя графики уравнений укажите число решений системы уравнений».
- «А от чего будет зависеть число решений системы уравнений?»
- «А всегда ли графики пересекаются? Если нет, то что?»
Устная работа по слайдам
Перейдем к решению систем. На доске идет показ слайдов с заданиями.
Идет устная работа с классом. Для того, чтобы наш урок прошел интересно, наглядно, учащиеся класса по иллюстрациям будут объяснять материал, используя чертежи.
Задание № 1: Слайд№6.
Задание № 2: Слайд№7.
Задание № 3: Слайд№8.
4. Тест
Учитель: На партах у вас раздаточный материал (тесты с заданиями).
Детям предлагается выполнить тест по вариантам.
После чего проверяем с помощью слайда правильность выполнения теста. Слайд№9.
5. Закрепление алгоритмов при решении систем уравнений.
На доске двое учеников решают две системы. Одну способом подстановки, а другую способом сложения. №309(б)
6. Самостоятельная работа.
Детям предлагается решить систему уравнений удобным им способом
После сбора заданий проводит самопроверку.
После того как будут сданы работы, проверяем по слайдам правильность выполнения работы. Способа подстановки - Слайд№10.
Способа сложения - Слайд№11.
Графического способа сложения Слайд№12.
7. Итог урока.
Запись д.з. №303(б), 309(а), 302(б), Учитель подводит итоги урока, благодарит помощников, анализирует уровень усвоения теоретического материала.
Спросить, а какой способ больше нравится?
Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» создан как наглядное пособие для ведения уроков алгебры по данной теме. В материале содержится объяснение на примерах, каким образом применяются различные способы решения систем уравнений с двумя переменными.
Структурированный материал, четкое изображение, понятное объяснение голосовым сопровождением дают возможность представить данную тему в удобной форме, понятно для всех учеников. Для большей эффективности подачи материала используются анимационные эффекты, выделение цветом. Благодаря данным инструментам видеоурок может заменить объяснение учителя, освободить время учителя на уроке для улучшения качества индивидуальной работы.
В начале урока представляется его тема, а затем предлагается рассмотреть решение системы уравнений х 2 -4у 2 -х+2у=0 и х 2 -ху+у=0. Решение начинается с разложения уравнения на линейные множители. После применения формулы сокращенного умножения и вынесения общих множителей левая часть первого уравнения преобразуется в произведение (х-2у)(х+2у-1). Из него следует разбиение на два уравнения х-2у=0 и х+2у-1=0. Такое разбиение позволяет представить данную систему в виде совокупности уравнений, в которой каждое из этих уравнений составляет систему со вторым уравнением исходной системы. Очевидно, систему уравнений х-2у=0 и х 2 -ху+у=6 можно решить методом подстановки. Для этого из первого уравнения выражается х=2у, который подставляется во второе равнение. Второе уравнение преобразуется в квадратное уравнение с одной переменной. Решив квадратное уравнение, получаем результаты у 1 =-2 и у 2 =1,5. После подстановки их в выражение для вычисления х находим значения х 1 =-4 и х 2 =3. Таким же образом методом подстановки решается вторая система уравнений. После подстановки значения х из х+2у=0 во второе уравнение получаем квадратное уравнение с одной переменной. Решения данного уравнения у 1 =(2+√34)/6 и у 2 =(2-√34)/6. После подстановки значений у в выражение для вычисления х, получаем значения х 1 =(1-√34)/3 и х 2 =(1+√34)/3. Соответственно, после сделанных вычислений получаем четыре пары значений, которые являются корнями данной системы уравнений.
В решении следующей системы уравнений 3х 2 +4у=ху и х 2 -у=4ху предлагается использовать способ сложения. После сложения левых и правых частей обоих уравнений образуется суммарное уравнение 7х2=17ху. Данное уравнение после преобразования преобразуется в произведение х(7х-17у)=0, которое в свою очередь развивается на два уравнения х=0 и 7х-17у=0. Каждое из этих уравнений со вторым уравнением исходной системы образует новую систему. Решением первой системы будет пара значений х 1 =0, у 1 =0. При решении второй системы х выражается из первого уравнения через у. Выражение для х подставляется во второе уравнение. Из него определяется у, значение которого у 2 =0 и у 3 =-49/187. Соответствующие им х 2 =0 и х 3 =-119/187. Следовательно, решениями системы будут две пары значений: (0;0) и (-119/187;-49/187).
Следующей предлагается решить систему уравнений 2х 2 +3ху+у2=0 и х 2 -4ху-2у-6=0. Чтобы определить решения системы, можно разделить обе части первого уравнения на у2, учитывая, что у≠0. После деления полученное равносильное уравнение 2(х/у) 2 +3(х/у)+1=0. Очевидно, если ввести новую переменную t=х/у, то получим обычное квадратное уравнение 2t 2 +3t+1=0. Решив данное уравнение, получим корни t 1 =-1 и t 2 =-0,5. Соответственно, получаем два уравнения х/у=-1 и х/у=-0,5. Иначе данные уравнения можно представить х=-у и х=-0,5у. Вместе с уравнением х 2 -4ху-2у-6=0 каждое из этих уравнений составляет новую систему, а вместе совокупность равносильных систем. После подстановки значения х из второго уравнения в первое, а затем вычисления корней уравнения, получаем из двух систем четыре пары значений, которые являются решениями системы: (-1-√31)/5; 1+√31)/5), (-1+√31)/5; 1-√31)/5), (-1-√15)/4,5; 2+√60)/4,5), (√15-1)/4,5; 2-√60)/4,5).
Последний рассмотренный пример описывает решение симметрических систем. Предлагается решить систему уравнений х 2 +3ху+у2=9 и ху+х+у=3. Обращается внимание учеников на то, что уравнения данной системы содержат выражения х+у, ху, х 2 +у 2 . Еще одна особенность данной системы, что в ней можно произвести замену х на у и наоборот, при этом вид системы не изменится. Таким системы называются симметрическими. Данное понятие выделено на экране для запоминания. Отмечается, что такие системы лучше всего решать введением новой переменной. Для этого вводят новую переменную u= х+у и переменную v=ху. В результате такой замены получили систему уравнений u 2 -2v+3v=9 и v+u=3. После сокращения подобных слагаемых получаем первое уравнение в виде u2+v=9. Используя метод подстановки, получаем решение системы с новыми переменными: u 1 =-2, v 1 =5 и u 2 =3, v 3 =0. Используя данные пары решений, получаются две новые системы, которые необходимо решить. Первая система из уравнений х+у=-2 и ху=5, вторая система из уравнений х+у=3 и ху=0. После вычисления определяется, что решениями данных систем будут пары значений х 1 =3, у 1 =0 и х 2 =0, у 2 =3.
Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» может быть полезен учителю на уроке в школе и при подаче материала в ходе дистанционного обучения. Также понятное наглядное объяснение может помочь ученику в самостоятельном изучении материала.
Урок-семинар по теме:
«Решение систем уравнений второй степени» 9 класс
Сердюкова Лилия Владимировна, учитель математики гимназии № 15. им. Н.Н.Белоусова, г. Сочи
Ответьте на вопросы.
1.Что называется системой уравнений второй степени? 2. Что называется решением системы уравнений второй степени? 3. Что значит решить систему уравнений второй степени? 4. Какие системы уравнений называются равносильными? 5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете, в чем их преимущества и недостатки? 6.Какие методы решений систем уравнений аналитическим способом вы знаете? 7.Изложите основные алгоритмы решения систем уравнений с двумя переменными.
8.Подберите наиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:
Системы уравнений
Графический способ
Аналитический способ
Метод подстановки
Метод сложения
Метод замены переменной
Графический способ (алгоритм )
Выразим у
Построим график
первого уравнения
Построим график
второго уравнения
Ответ: (2; 4);(-1;1)
Найдем координаты точек пересечения графиков функций
Маленький тест
Укажите систему уравнений,
которая не имеет решений.
ОДНО решение
ДВА решения
Все три указанные системы
Маленький тест
На рисунке изображены
графики функций
у=х2 – 2х–3 и у=1–х
Используя графики решите
систему уравнений.
у=х2 – 2х –3
7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
(-2; 5), (2; -3)
Нет решений
Маленький тест
На рисунке изображены
графики функций
у= х3 и у=2х+4
Используя графики решите
систему уравнений
7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Нет решений
Укажите рисунок, на котором приведена графическая иллюстрация
решения системы уравнений
Способ подстановки (алгоритм)Выразим х через у
Подставим
уравнение
Подставим
Ответ: (2;0);(3;1).
у=0 или 1-у=0
Подставим
Способ сложения (алгоритм)Уравняем
Сложим уравне-
ния почленно
уравнение
Подставим
уравнение
Ответ: (4; 1); (4; -1); (-4; 1); (-4; -1).
Соотношение количества систем, решаемых различными методами.
Тест:
Ответы: Вариант1.
Ответы: Вариант2.
Итоги:
В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.
При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.
Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.
Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений
Квадратное уравнение – 2x 2 + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.
Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.
Ответ: 5,5.
Пример 6.24. Решить систему уравнений
Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.
Получаем систему уравнений
Возвращаясь к переменным x и y, получаем
Решив эту систему:
y 2 – 3y + 2 = 0,Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.
Ответ: (2; 1) , (1; 2).
Пример 6.25. Решить систему уравнений
Решение. Разложим левые части уравнений на множители:
Выразив из второго уравнения (x ¹ 0) x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим
Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем
3x 2 = – 3, X 1 = 1; X 2 = – 1, тогда Y 1 = 4; Y 2 = – 4.
Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).
Пример 6.26. Решим задачу.
Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м 2 .
Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15
Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений
т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения системы обращает их в верные числовые равенства.
Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем х(8 - у) = 15, т.е. 8х - х 2 = 15 или
х 2 - 8х + 15 = 0.
Решим это уравнение: D = (- 8) 2 - 4× 1× 15 = 64 - 60 = 4,
Х 1,2 = (8 ± Ö 4) / 2 = (8 ± 2) / 2.
Значит, х 1 = 5, х 2 = 3. Поскольку у = 8 - х, то получаем у 1 = 3, а у 2 = 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.
Замечание: уравнение х 2 - 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z 2 - 8z + 15 = 0.
Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. Если в одно из них какое- нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.
Пример 6.27 . Решим систему уравнений
Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 - 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 - 2х)2 = 53.
Раскроем скобки и приведём подобные члены:
х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53
и потому 5х2 - 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение
5х2 - 44х + 68 = 0.
Решая его, находим D = (- 44)2 - 4× 5× 68 = 1936 - 1360 = 576,
Х 1,2 = (44 ± 24) / 10.
Итак х 1 = 6,8; х 2 = 2, Þ у 1 = 11 - 2× 6,8 = - 2,6; у 2 = 11 - 2× 2 = 7.
Ответ: х 1 = 6,8; у 1 = - 2,6; х 2 = 2; у 2 = 7.
Уравнение может содержать не одну, а две переменных. Понятно, что такие уравнения называются уравнениями с двумя переменными .
Система уравнений - это два и более уравнений, которыми можно манипулировать для нахождения общих решений. Система из двух уравнений вкючает в себя две переменных, значения которых являются общими для обоих уравнений. С помощью одного уравнения системы решается другое, а в итоге решаются оба уравнения системы.
Способы решения системы уравнений первой степени.
1. Решение методом подстановки.
Суть в том, что в системе уравнений выбираете наиболее простое, в котором одну переменную выражаете через другую. Результат подставляете во второе уравнение, благодаря чему преобразуете его в более простое уравнение с одной переменной. Вычисляете это уравнение и получаете значение одной из переменных. Подставляете его в первое уравнение и получаете значение второй переменной. Так вы решаете всю систему уравнений.
Пример : Решим систему уравнений
│x + y = 1
│2x - y = 2
Решение :
Первое уравнение системы проще второго - его и используем.
Выразим в нем x
через у
:
x = 1 - y
Подставляем это значение x в наше второе уравнение и находим значение y :
2(1 - y ) - y = 2
2 - 2y - y = 2
2 - 3y = 2
3y = 2 - 2
3y = 0
y = 0.
Мы получили значение y . Подставляем его в наше первое уравнение и находим теперь уже значение x :
x + 0 = 1
x = 1
Мы нашли значения обеих переменных.
Ответ :
│x = 1
│y = 0
2. Решение методом сложения.
Этот метод целесообразно применять, если при сложении одно из неизвестных пропадает.
Пример 1 : Решим систему уравнений
│x + y = 5
│x - y = 1
Решение .
Сложим (вычтем) почленно оба уравнения системы:
│(x + y ) + (x - y ) = 5 + 1
│(x + y ) - (x - y ) = 5 - 1
Раскрываем скобки в обоих уравнениях и сводим подобные члены. В результате в первом уравнении пропадает у , во втором х . Мы получаем уравнения с одной переменной, которые проще решать:
│ x + y + x - y = 6
│ x + y - x + y = 4
│2 x = 6
│2y = 4
│ x = 6: 2
│y = 4: 2
│ x = 3
│y = 2
Пример решен.
Необязательно производить взаимное сложение и вычитание двух уравнений системы. Часто достаточно бывает произвести одно из двух действий, чтобы вычислить значение одной из двух переменных. А зная одну переменную, уже легко найти и вторую.
Пример 2 . Решить систему уравнений
│2х
+ 4у
= 26
│8х
+ 4у
= 44
В обоих уравнениях есть число 4у . Значит, мы можем применить метод сложения. При этом произвести не взаимное сложение, а совершить лишь одно действие: вычесть из первого уравнения второе, чтобы 4у исчезло и чтобы в результате мы получили уравнение с одной переменной:
2х + 4у - 8х - 4у = 26 - 44.
6х = -18
х = -18: (-6)
х = 3
Теперь можем найти и значение у , подставив значение х в любое из двух уравнений системы:
2 · 3 + 4у = 26
6 + 4у = 26
4у = 20
у = 20: 4
у = 5
Ответ : х = 3, у = 5.
Однако рассмотрим еще один пример.
Пример 3 : Решим систему уравнений
│3х + 5у = 21
│8х - 3у = 7
Здесь нет переменных с одинаковыми коэффициентами, чтобы при вычитании они исчезли. Что делать в этом случае? Для таких случаев придумано оригинальное решение: умножим почленно первое уравнение на 3, а второе на 5. От этого истина не пострадает, потому что мы просто получим равносильные уравнения. Зато благодаря этому приему у нас появятся одинаковые переменные 15у :
│(3х + 5у = 21) · 3
│(8х - 3у = 7) · 5
↓
│3 · 3х + 3 · 5у = 3 · 21
│5 · 8х - 5 · 3у = 5 · 7
↓
│9х + 15у = 63
│40х - 15у = 35
Итак, у нас появились одинаковые переменные и можем сложить два уравнения, чтобы прийти к уравнению с одной переменной:
9х + 15у + 40х - 15у = 63 + 35
49х = 98
х = 2
Осталось найти значение второй переменной - подставив значение х , например, в первое уравнение системы:
3 · 2 + 5у = 21
6 + 5у = 21
5у = 21 - 6
5у = 15
у = 3.
Ответ : х = 2; у = 3.
Опять же не всегда нужно преобразовывать оба уравнения системы так, как было в предыдущем примере. Бывает и так, что достаточно изменить лишь одно из уравнений.
Пример 4 . Решим систему уравнений:
│3х
- 4у
= 7
│х
+ 3у
= 11
Здесь достаточно второе уравнение умножить на -3. Тогда мы получим число -3х
, а при сложении двух уравнений придем к уравнению с одной переменной.
Итак, умножаем второе уравнение на -3:
(х + 3у = 11) · (-3),
3х - 9у = -33.
Теперь складываем два уравнения, приходим к уравнению с одной переменной у и решаем его:
3х - 4у -3х - 9у = 7 - 33,
13у = -26,
у = 2.
И находим значение х . Это проще сделать во втором уравнении:
х + 3 · 2 = 11,
х + 6 = 11,
х = 5.
Ответ : х = 5; у = 2.
3. Решение методом введения новой переменной.
Пример . Решить систему уравнений
│ 2 3
│———— + ———— = 2
│ х
- 3у
2х
+ у
│
│ 8 9
│———— - ———— = 1
│ х
- 3у
2х
+ у
Перед нами система сложных уравнений, осложненных дробными числами. Наша задача - упростить их, чтобы потом решить. Если применить какой-нибудь из первых двух методов, получатся еще более сложные уравнения. Зато хорошо подходит метод введения новой переменной, благодаря которому мы целую дробь можем заменить одной переменной. Как это сделать?
Обратите внимание: у первых чисел обоих уравнений одинаковые знаменатели х - 3у , при этом их числители делятся на 2. У вторых чисел тоже одинаковые знаменатели 2х + у , а их числители делятся на 3. Этим и воспользуемся.
1) Выпишем снова нашу систему уравнений, разложив на множители числители второго уравнения и вынеся их за дробь:
│ 2 3
│———— + ———— = 2
│ х
- 3у
2х
+ у
│
│ 2 3
│4 · ———— - 3 · ———— = 1
│ х
- 3у
2х
+ у
Теперь в обоих уравнениях у нас абсолютно одинаковые первые дроби и абсолютно одинаковые вторые дроби.
2) Заменим эти дроби новыми переменными a и b следующим образом:
2 3
———— = а
, ———— = b
.
х
- 3у
2х
+ у
Так мы существенно упрощаем уравнения, которые обретают совсем иной вид:
│ а
+ b
= 2
│4а
- 3b
= 1
3) Применяем уже известный нам метод подстановки.
Первое уравнение проще, поэтому сначала выражаем в нем а через b :
а = 2 - b .
Подставляем полученное значение а во второе уравнение, раскрываем скобки, приводим подобные члены и вычисляем численное значение b :
4 · (2 - b ) - 3b = 1,
8 - 4b - 3b = 1,
8 - 7b = 1,
7b = 8 - 1,
7b = 7,
b = 1.
Раз нам известно численное значение b , то мы легко можем найти и численное значение а . Это проще сделать с помощью первого уравнения:
а + b = 2,
а + 1 = 2,
а = 2 - 1,
а = 1.
Итак:
а = 1, b = 1.
Вписываем в дроби эти значения а и b :
│ 2
│———— = 1
│ х
- 3у
│
│ 3
│———— = 1
│ 2х
+ у
4) Преобразуем эти уравнения по известному вам правилу: неизвестные влево, известные вправо:
│ х
- 3у
= 2: 1
│2х
+ у
= 3: 1
↓
│ х
- 3у
= 2
│2х
+ у
= 3
5) Решаем эту систему уравнений снова с помощью метода подстановки. Для этого в первом уравнении х выражаем через у :
х = 2 + 3у .
Подставляем во второе уравнение и находим у :
2 · (2 + 3у ) + у = 3
4 + 6у + у = 3
7у = 3 - 4
7у = -1
у = -1/7
И с помощью первого уравнения находим х :
х - 3у = 2
х - 3 · (-1/7) = 2
х + 3/17 = 2
х = 2 - 3/7
х = 11/7.
Мы нашли значения х и у в нашей исходной системе уравнений - а значит, решили ее.
Ответ
: х
= 11/7, у
= -1/7
ПРИМЕЧАНИЕ.
Как видно из этого примера, нередки случаи, когда при решении системы уравнений надо последовательно применить сразу несколько методов.
