Формул для обчислення площі трикутника в літературі можна знайти більше 10. Більшість з них можна застосувати в задачах з відомими сторонами та кутами трикутниками. Однак є ряд складних прикладів, в яких задано лише одна сторона і кути трикутника, або радіус описаного чи вписаного кола та ще одна характеристика. В таких випадках просту формулу застосувати не вдасться.
Задачі на трикутники вивчають в 7, 8 класі з вивчення простих властивостей, обчислення площі і периметра. В 9, 10 класі учні не тільки знають чим відрізняється прямокутний трикутник від рівнобедреного чи рівностороннього, а й з успіхом використовують теорему косинусів для знаходження сторін, формулу Герона, вміють розв"язати задачі про коло вписане або описане навколо трикутника. Але до всього потрібно приходити поступово не перевантажуючи пам"ять та можливості учнів. Тоді накопичені знання можна з успіхом застосувати до обчислення задач на трикутники будь-якої складності.
Наведені нижче формули дозволять розв"язати 95 відсотків задач в яких потрібно знайти площу трикутника.
Перейдемо до розгляду поширених формул площі.
Розглянемо трикутник зображений на рисунку нижче
На рисунку і далі у формулах введені класичні позначення усіх його характеристик
a,b,c
– сторонни трикутника,
R
– радіус описаного кола,
r
– радіус вписаного кола,
h[b],h[a],h[c]
висоти, проведені відповідно до сторін a,b,c.
alpha, beta,hamma – кути при вершинах.
1. Площа трикутника рівна половині добутку сторони трикутника на висоту, опущену до цієї сторони . На мові формул це визначення можна записати так
Таким чином, якщо відомо сторону та висоту, опущену до неї, то площу знайде кожен школяр.
До речі з цієї формули можна вивести одну корисну залежність між висотами
2. Якщо врахувати, що висота трикутника через сусідню сторону виражається залежністю
То з першої формули площі випливають однотипні другі
Уважно погляньте на формули – їх легко запам"ятати, оскільки в добутку фігурує дві сторони і кут між ними. Якщо правильно позначити сторонни і кути трикутника, то отримаємо дві сторонни a,b і кут пов"язаний з третьою С (hamma).
3. Для кутів трикутника справедливе співвідношення
Залежність дозволяє застосовувати в обчисленнях наступну формулу площі трикутника
Приклади на дану залежність зустрічаються вкрай рідко, але пам"ятати, що є така формула Ви повинні.
4. Якщо відома сторона і два прилеглі кути, то площа знаходиться за формулою
5. Формула площі трикутника через сторону і котангенси прилеглих кутів
Перестановкою індексів можете отримати для інших сторін.
6. Наведена нижче формула площі використовується в задачах коли вершини трикутника задані на площині координатами . В цьому випадку площа трикутника рівна половині визначника, взятого за модулем.
7. Формулу Герона застосовують в прикладах з відомими сторонами трикутника. Спочатку знаходять півпериметр трикутника
А далі визначають площу за формулою
або
Її досить часто використовують в коді програм калькуляторів.
8. Якщо відомі всі висоти трикутника то площу визначають за формулою
Вона складна для обчислення на калькуляторі, проте в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площа знаходиться на «раз два».
9.
Наступні формули вклячають відомі радіуси вписанного та описанного кіл (див. роисунок).
Зокрема, якщо відомо радіус і сторонни трикутника, чи його периметр то площа обчислюється згідно формули
10. У прикладах де задано сторони і радіус (діаметр) описаного кола площу знаходять за формулою
11. Наступна формула визначає площу трикутника через сторону і кути трикутника.
Площадь треугольника можно вычислить через большое количество параметров, этот онлайн калькулятор треугольника использует формулу через высоту и основание.
Основание треугольника — это сторона, к которой в данный момент опущена высота. Формально сторона, которая принимается для вычисления площади по этой формуле обычно находится внизу чертежа, но по факту это может быть любая сторона треугольника не зависимо от ориентации на чертеже.
Пример: вычислить площадь треугольника онлайн — сторона 12 площадь 12 см. Применим формулу и напишем такое решение: 12 х 12 / 2 = 72 см².
2. Можно записать этот же пример, немного по другому, площадь через основание 12 и высоту 12 см.
Альтернативный пример решения: это расчёт площади треугольника по классической формуле из школьной программы. 12 / 2 х 12 = 72 см², по сути ведь это одно и тоже: Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону. А от перестановки множителей результат не меняется))
2см² = 4 см!
Существует огромное количество методов рассчитать площадь треугольника через стороны, углы, косинусы и другие параметры. Мы постепенно будем создавать дополнительные калькуляторы треугольника и выкладывать на этом сайте. Например найдите площадь треугольника основание 5 высота 5.
Введите необходимые параметры для вычисления, укажите точность расчета и нажмите «Посчитать». Калькулятор выполнит расчет площади треугольника.
Треугольник — три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, которые их соединяют.
Иначе, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.
Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. Все углы равностороннего треугольника также равны и равняются 60°.
Площадь произвольного треугольника вычисляется по формулам: или 
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
Площадь правильного или равностороннего треугольника вычисляется по формулам: 
или 
или 
Где a,b,c — стороны треугольника, h — высота треугольника, y — угол между сторонами, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
Формул для обчислення площі трикутника в літературі можна знайти більше 10.
Більшість з них можна застосувати в задачах з відомими сторонами та кутами трикутниками. Однак є ряд складних прикладів, в яких задано лише одна сторона і кути трикутника, або радіус описаного чи вписаного кола та ще одна характеристика. В таких випадках просту формулу застосувати не вдасться.
Задачі на трикутники вивчають в 7, 8 класі з вивчення простих властивостей, обчислення площі і периметра.
В 9, 10 класі учні не тільки знають чим відрізняється прямокутний трикутник від рівнобедреного чи рівностороннього, а й з успіхом використовують теорему косинусів для знаходження сторін, формулу Герона, вміють розв’язати задачі про коло вписане або описане навколо трикутника. Але до всього потрібно приходити поступово не перевантажуючи пам’ять та можливості учнів. Тоді накопичені знання можна з успіхом застосувати до обчислення задач на трикутники будь-якої складності.
Наведені нижче формули дозволять розв’язати 95 відсотків задач в яких потрібно знайти площу трикутника.
Перейдемо до розгляду поширених формул площі.
Розглянемо трикутник зображений на рисунку нижче
На рисунку і далі у формулах введені класичні позначення усіх його характеристик
a,b,c – сторонни трикутника,
R– радіус описаного кола,
r – радіус вписаного кола,
h[b],h[a],h[c] висоти, проведені відповідно до сторін a,b,c.
alpha, beta,hamma – кути при вершинах.
1.Площа трикутника рівна половині добутку сторони трикутника на висоту, опущену до цієї сторони .
На мові формул це визначення можна записати так
Таким чином, якщо відомо сторону та висоту, опущену до неї, то площу знайде кожен школяр.
До речі з цієї формули можна вивести одну корисну залежність між висотами
Якщо врахувати, що висота трикутника через сусідню сторону виражається залежністю
То з першої формули площі випливають однотипні другі
Уважно погляньте на формули – їх легко запам’ятати, оскільки в добутку фігурує дві сторони і кут між ними.
Якщо правильно позначити сторонни і кути трикутника, то отримаємо дві сторонни a,b і кут пов’язаний з третьою С (hamma).
3. Для кутів трикутника справедливе співвідношення
Залежність дозволяє застосовувати в обчисленнях наступну формулу площі трикутника
Приклади на дану залежність зустрічаються вкрай рідко, але пам’ятати, що є така формула Ви повинні.
4.Якщо відома сторона і два прилеглі кути, то площа знаходиться за формулою
5. Формула площі трикутника через сторону і котангенси прилеглих кутів
Перестановкою індексів можете отримати для інших сторін.
Наведена нижче формула площі використовується в задачах коли вершини трикутника задані на площині координатами . В цьому випадку площа трикутника рівна половині визначника, взятого за модулем.
7. Формулу Герона застосовують в прикладах з відомими сторонами трикутника.
Спочатку знаходять півпериметр трикутника
А далі визначають площу за формулою
або
Її досить часто використовують в коді програм калькуляторів.
8. Якщо відомі всі висоти трикутника то площу визначають за формулою
Вона складна для обчислення на калькуляторі, проте в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площа знаходиться на «раз два».
Наступні формули вклячають відомі радіуси вписанного та описанного кіл (див. роисунок).
Зокрема, якщо відомо радіус і сторонни трикутника, чи його периметр то площа обчислюється згідно формули
У прикладах де задано сторони і радіус (діаметр) описаного кола площу знаходять за формулою
11. Наступна формула визначає площу трикутника через сторону і кути трикутника.
Ну і наостанок – часткові випадки:
Площа прямокутного трикутника з катетами a і b рівна половині їх добутку
Формула площі рівностороннього (правильного) трикутника
рівна одній четвертій добутку квадрату сторони на корінь з трійки.
Сторони трикутника рівні 3, 5, 6 см. Знайти площу трикутника.
Розв’язок: Застосуємо формулу Герона, для цього спочатку знайдемо півпериметр
Підставляємо в формулу площі
Відповідь: Площа трикутника рівна 7.48 сантиметрів квадратних.
Завантажити усі наведені формули площі трикутника Ви можете за наступним посиланням.
Роздруковуйте їх та використовуйте в навчанні.
Схожі матеріали:
Якщо матеріал був корисний Вам — поділіться посиланням з друзями.
Многоугольник, имеющий три точки и три стороны, называется треугольником. Треугольник считается равносторонним, если все три стороны одинаковы.
Формулы равносторонней поверхности треугольника только на стороне одинаковы: 
Веб-калькулятор:
Формула равностороннего треугольного региона находится только по высоте: 
Калькулятор калькулятор:
Формула равносторонней области треугольника после радиуса введенного круга: 
Уравнение поверхности равностороннего треугольника после радиуса круга: 
Отправленный каскадными таблицами стилей
Основные формулы треугольника
В этой статье вы найдете все формулы треугольных областей:
6 формул для области треугольника
Косинусная изрека
\ (a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cos α \)
\ (b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2-2ac * cos β \)
\ (a ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab * cos γ \)
\ (m ^ 2_a = 14 (2b ^ 2 + 2c ^ 2-a ^ 2) \)
\ (m ^ 2_b = 14 (2a ^ 2 + 2c ^ 2-b ^ 2) \)
\ (m ^ 2_c = 14 (2a ^ 2 + 2b ^ 2-c ^ 2) \)
Формула биссектрисы
\ (\ frac {a} {b} = \ frac {n} {m} \)
\ (l ^ 2 = ab-nm \)
Прямоугольный треугольник
\ (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 \)
\ (S = \ frac {1} {2} ab = \ frac {1} {2} ch \)
\ (a ^ 2 = n⋅c \)
\ (b ^ 2 = mc \)
\ (h ^ 2 = m * n \)
\ (r = \ frac {a + b-c} {2} \) — радиус введенного круга
\ (sin α = a / c \)
\ (tan α = a / b \)
\ (cot α = b / a \)
Квадратные формулы
полиперметр \ (p = \ frac {a + b + c} {2} \)
Площадь треугольника
\ (S = \ frac {ch_c} {2} \)
\ (S = \ frac {ab sin γ} {2} \)
\ (I = \ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)} \
\ (S = pr \)
где \ (г \) — радиус треугольника введенного круга
\ (S = \ frac {abc} {4R} \)
где R-радиус окружен
Дополнительные уроки и задания по математике с преподавателями нашей интернет-школы «Альфа».
Зарегистрируйтесь сейчас в пробной аптеке!
Зарегистрируйтесь для бесплатного тестирования знаний!
Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные формы, а также их измерение и расположение относительно друг друга.
Геометрия как наука получила своё название и систематизацию знаний в Греции (около двух с половиной тысяч лет назад).
Вычисление площадей фигур - одна из самых распространённых задач, которые решает геометрия (чаще всего вопрос определения площади становится актуальным в процессе строительства).
В качестве примера попробуем найти площадь треугольника, если известны все стороны.
Для определения площади треугольника могут использоваться различные формулы, исходя из имеющихся данных. В случае, когда известны длины всех сторон треугольника, его площадь может быть вычислена по формуле Герона.
Быстрая навигация по статье
Для вычисления площади треугольника по длинам его сторон используется одна из самых древнейших в геометрии формул - формула Герона, названная в честь выдающегося древнегреческого математика Герона Александрийского (I век н.э.).
Площадь треугольника по этой формуле вычисляется как корень квадратный из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра с каждой из сторон треугольника:
S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где:
Дан треугольник со сторонами а = 6см, b = 8см, с = 10см.
Первоначально необходимо вычислить полупериметр треугольника:
S = √12(12-6)(12-8)(12-10) = √12*6*4*2 = √576 = 24 см.
В зависимости от имеющихся данных, для вычисления площади треугольника могут использоваться другие формулы.
Площадь треугольника равна:
Чтобы определить площадь треугольника, можно пользоваться разными формулами. Из всех способов самый легкий и часто применяемый - это умножение высоты на длину основания с последующим делением полученного результата на два. Однако данный метод далеко не единственный. Ниже вы сможете прочесть, как найти площадь треугольника, используя разные формулы.
Отдельно мы рассмотрим способы вычисления площади специфических видов треугольника - прямоугольного, равнобедренного и равностороннего. Каждую формулу мы сопровождаем коротким пояснением, которое поможет вам понять ее суть.
В приведенных ниже формулах используются специальные обозначения. Мы расшифруем каждое из них:
Логически понятно, почему можно находить площадь треугольника этим способом. Треугольник легко достраивается до параллелограмма, в котором одна сторона треугольника будет выполнять роль диагонали. Площадь параллелограмма находится умножением длины одной из его сторон на значение высоты, проведенной к ней. Диагональ разделяет этот условный параллелограмм на 2 одинаковых треугольника. Следовательно, совершенно очевидно, что площадь нашего исходного треугольника должна равняться половине площади этого вспомогательного параллелограмма.
S=½ a · b·sin γ
Согласно этой формуле, площадь треугольника находится умножением длин двух его сторон, то есть а и b, на синус образованного ими угла. Эта формула логически выводится из предыдущей. Если опустить высоту из угла β на сторону b, то, согласно свойствам прямоугольного треугольника, при умножении длины стороны a на синус угла γ получаем высоту треугольника, то есть h.
Площадь рассматриваемой фигуры находим путем умножения половины радиуса окружности, которую в него можно вписать, на его периметр. Иными словами, находим произведение полупериметра на радиус упомянутой окружности.
S= a · b · с/4R
Согласно данной формуле, необходимую нам величину можно найти путем деления произведения сторон фигуры на 4 радиуса окружности, вокруг нее описанной.
Эти формулы универсальны, так как дают возможность определить площадь любого треугольника (разностороннего, равнобедренного, равностороннего, прямоугольного). Можно это сделать и при помощи более сложных вычислений, на которых мы подробно останавливаться не станем.
Как найти площадь прямоугольного треугольника? Особенностью этой фигуры является то, что две ее стороны одновременно являются ее высотами. Если а и b являются катетами, а с становится гипотенузой, то площадь находим так:
Как найти площадь равнобедренного треугольника? В нем две стороны с длиной а и одна сторона с длиной b. Следовательно, его площадь определить можно путем деления на 2 произведения квадрата стороны а на синус угла γ.
Как найти площадь равностороннего треугольника? В нем длина всех сторон равняется а, а величина всех углов - α. Его высота равна половине произведения длины стороны а на корень квадратный из 3. Чтобы найти площадь правильного треугольника, нужно квадрат стороны а умножить на корень квадратный из 3 и разделить на 4.
Площади треугольников.
Для того чтоб посодействовать собственному ребенку с уроками, предки должны сами знать огромное количество вещей. Как отыскать площадь равнобедренного треугольника , чем причастный оборот отличается от деепричастного, что такое ускорение свободного падения?
С хоть каким из этих вопросов у ваших отпрыска либо дочери могут появиться трудности, и они конкретно к для вас обратятся за разъяснениями. Чтоб не свалиться лицом в грязюка и поддержать собственный авторитет в детских очах, стоит освежить в памяти некие элементы школьной программки.
Возьмем для примера вопрос о равнобедренном треугольнике. Геометрия в школе многим тяжело дается, а после школы резвее всех забывается.
Но когда ваши малыши пойдут в 8 класс , придется вспомнить формулы, касающиеся геометрических фигур. Равнобедренный треугольник — одна из самых обычных фигур в плане нахождения ее характеристик.
Начнем с разъяснения определений.
Если все, что вы когда-то учили о треугольниках, позабыто, давайте вспоминать. Равнобедренным именуется таковой треугольник, у которого 2 стороны имеют схожую длину. Эти равные меж собой ребра именуются боковыми сторонами равнобедренного треугольника. 3-я же сторона — его основание.
Существует таковой вариант, при котором равны меж собой все 3 стороны. Он носит заглавие равностороннего треугольника. На него распространяются все формулы, используемые к равнобедренному, и в случае необходимости всякую из его сторон можно именовать основанием.
Для нахождения площади нам пригодится поделить основание напополам. Ровная, опущенная к приобретенной точке из верхушки, соединяющей боковые стороны, пересечет основание под прямым углом.
Таково уж свойство схожих треугольников: медиана, другими словами ровная от верхушки к середине обратной стороны, в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой (прямой, делящей угол напополам) и его высотой (перпендикуляром к обратной стороне).
Чтоб отыскать площадь равнобедренного треугольника, нужно помножить его высоту на основание, а потом поделить это произведение напополам.
Для нахождения площади треугольника формула ординарна: S=ah/2, где а — длина основания, h — высота.
Наглядно это можно разъяснить последующим образом. Вырежьте из бумаги аналогичную фигуру, найдите середину основания, проведите к этой точке высоту и аккуратненько разрежьте по этой высоте. Получатся два прямоугольных треугольника.
Если приставить их друг к другу гипотенузами (длинноватыми сторонами), то составится прямоугольник, одна сторона которого будет равна высоте нашей фигуры, а другая — половине ее основания. Другими словами подтвердится формула.
Наилучшим учеником в классе становится не зазубривающий, а думающий и, главное, понимающий школьник.
Как найти площадь фигуры, если один угол прямой?
Может так оказаться, что угол меж боковыми сторонами данной треугольной фигуры составляет 90°. Тогда этот треугольник будет называться прямоугольным, его боковые стороны — катетами, а основание — гипотенузой.
Площадь таковой фигуры можно вычислить вышеизложенным методом (находим середину гипотенузы, проводим к ней высоту, умножаем ее на гипотенузу, делим напополам). Но можно решить делему еще проще.
Начнем с наглядности. Прямоугольный равнобедренный треугольник представляет собой ровно половину квадрата, если разрезать тот на искосок. И если площадь квадрата находится обычным строительством во вторую степень его стороны, то площадь подходящей нам фигуры будет в два раза меньше.
S=a 2 /2, где а — длина катета.
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине квадрата его боковой стороны. Неувязка оказалась не таковой уж суровой, какой была на 1-ый взор.
Геометрия — четкая наука. Если вдуматься в ее базы, то проблем с ней будет мало, а логичность доказательств может очень увлечь вашего малыша. Необходимо просто мало ему посодействовать. Какой бы неплохой учитель ему ни достался, родительская помощь излишней не будет.
А в случае с исследованием геометрии очень полезным станет способ, о котором говорилось выше, — наглядности и простоты разъяснения.
При всем этом нельзя забывать о точности формулировок, по другому можно сделать эту науку еще сложней, чем она есть по сути.
Как отыскать площадь треугольника. Как отыскать площадь треугольника. 4 способа: По основанию и высоте По сторонам По одной из. Как найти площадь треугольника. Как отыскать площадь треугольника формула 4 класс. Ответ на вопрос Как отыскать площадь треугольника формула 4 класс? - Площадь треугольника. Ответы@Mail. Ru: как отыскать площадь прямоугольника . как найти площадь прямоугольника , треугольника? 4 класс Ирина Мастакова (Музыка) Ученик. Формулы площади треугольника и примеры. Площадь треугольника. Найти площадь треугольника. 3 класс - периметр и площадь треугольника. 3 класс, периметр и площадь треугольника , примеры по математике на формулу 4 КЛАСС . Площадь треугольника по трем сторонам - формула, пример. Найти площадь треугольника можно различными способами. Конечно же, в зависимости от. (Найти площадь треугольника АВС; АВ =2СМ. (Найти площадь треугольника. Точное отмеченных самими пользователями как. Как найти периметр и площадь треугольника. Как найти площадь прямоугольника ? Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину, S=ab. Формулы, теория.
