Под высказыванием понимается языковое выражение, о котором можно сказать только одно из двух: истинно оно или ложно. Высказывание, в отличие от суждений, не имеет личностного характера.
Вопросы, просьбы, приказы, восклицания, отдельные слова (кроме случаев, когда они выступают представителями высказываний типа «вечереет», «похолодало» и т. п.) не являются высказываниями. Истинность и ложность высказываний являются их логическими значениями.
Высказывания делятся на атрибутивные, экзистенциальные и реляционные.
Атрибутивными называются высказывания, в которых утверждается или отрицается свойство или состояние предмета.
Экзистенциальными называются высказывания, которые утверждают или отрицают факт существования.
Реляционными называются высказывания, выражающие отношения между предметами.
Высказывания, как и их логические формы, бывают простыми и сложными. Сложное высказывание можно разбить на простые. Простые высказывания на более простые не расчленяются.
Простое атрибутивное высказывание имеет структуру, в которую входят субъект, предикат и связка.
Субъект высказывания (S) - это та часть высказывания, которая выражает предмет мысли.
Предикат высказывания (Р) - это часть высказывания, в которой отображается признак предмета мысли, его свойство, состояние, отношение.
Субъект (S) и предикат (Р) называются терминами. Связка указывает на то, в каком взаимоотношении находятся между собой термины (S и Р).
В атрибутивных высказываниях часто используются кванторы существования и общности.
Атрибутивные высказывания делятся по качеству и количеству.
По качеству они делятся на утвердительные и отрицательные. В утвердительных указывается на принадлежность (наличие) признака, мыслимого в предикате, субъекту высказывания: «S есть Р». Например: «Платон - философ-идеалист». В отрицательных указывается на непринадлежность предиката его субъекту: «S не есть Р».
По количеству высказывания делятся на единичные, частные и общие. Имеется в виду совокупность (число, количество) индивидуальных предметов, составляющих имя класса субъекта.
В единичных высказываниях субъект состоит из одного предмета.
Частные высказывания имеют форму: «Некоторые S есть (не есть) Р».
В общих высказываниях субъект охватывает все предметы. Такие высказывания имеют форму: «Все S есть (не есть) Р».
Высказывания классифицируются по качеству и количеству. Выделяются 4 класса высказываний:
1) общеутвердительное (А) - общее по количеству и утвердительное по качеству («Все S есть Р»);
2) частноутвердительное (J) - частное по количеству и утвердительное по качеству («Некоторые S есть Р»);
3) общеотрицательное (Е) - общее по количеству и отрицательное по качеству («Ни одно S не есть Р»);
4) частноотрицательное (О) - частное по количеству и отрицательное по качеству («Некоторые S не есть Р»).
В каждом классе высказываний соотношение объемов S и Р (терминов) различно. В логике проблема соотношения объемов S и Р называется проблемой распределенности терминов. Термин распределен, если он полностью входит в объем другого термина или полностью из него исключается.
В классе А |Все S есть Р| субъект полностью распределен в предикате, а предикат не распределен.
Мы очень любим мудрые высказывания великих людей. Тех, чьи имена золотыми буквами вписаны в историю мира. Но и обычные люди, наши с вами друзья, приятели, однокашники, иной раз такое «отмочат» - хоть стой, хоть падай. На этой странице мы собрали для вас этакий микс самых, на наш взгляд, интересных высказываний о жизни, судьбе, любви. Креативных, юморных, мудрых, впечатляющих, трогательных, цепляющих за душу, позитивных… на любой цвет и вкус)
1. Про работу и зарплату
2. Про ложь и правду
У лжи… широкая дорога… У правды… узкая тропа… Ложь… языков имеет много… А правда… на слова скупа… Ложь… это скользкие слова… но заползут в любые уши… А правда… тонкая струна… но пробивается сквозь души!!!
3. Неисповедимы Пути Господни…
Бог не дает вам людей, которых вы хотите. Он дает вам людей, в которых вы нуждаетесь. Они причиняют вам боль, любят, учат вас, ломают вас, чтобы превратить вас в того, кем вы должны быть.
4. Классно!!!
Как классно! На работу только через 20 лет!)
5. Система расчёта…
Это только кажется, что за всё платят деньгами. За всё действительно важное платят кусочками души…
6. Во всём нужно видеть позитив)
Если судьба подкинула тебе кислый лимон - подумай, где достать текилу и отлично повеселиться.
7. От Эрих Мария Ремарк
Кто хочет удержать - тот теряет. Кто готов с улыбкой отпустить - того стараются удержать.
8. Разница между собакой и человеком…
Если ты подберешь голодную собаку и сделаешь ее жизнь сытой, она никогда не укусит тебя. В этом принципиальная разница между собакой и человеком.
9. Только ТАК!
10. Дорога судьбы
Каждый человек в своей жизни должен пройти через это. Разбить чужое сердце. Разбить свое. И потом научиться бережно относиться и к своему, и к чужому сердцу.
11. В чём сила характера?
Сила характера не в умении пробивать стены, а в умении находить двери.
12. Ваш малыш развивается хорошо)
Девочки, счастье это не затяжка сигареты и глоток пива, счастье - это когда ты приходишь к врачу и тебе говорят: “Ваш малыш развивается хорошо, отклонений нет!”
13. От матери Терезы, жизненно важная мысль…
Для создания семьи достаточно полюбить. А для сохранения - нужно научиться терпеть и прощать.
14. Показалось)
В детстве казалось, что после тридцати - это старость… Слава Богу показалось!
15. Отделяйте зёрна от плевел…
Учитесь отличать важное и второстепенное. Высшее образование – не показатель ума. Красивые слова – не показатель любви. Красивая внешность – не показатель красивого человека. Учитесь ценить душу, верить поступкам, смотреть на дела.
16. От великой Фаины Раневской
Берегите своих любимых женщин. Ведь пока она ругает, переживает и психует - она любит, но как только начнет улыбаться и равнодушно относиться - ты её потерял.
17. Про детей…
Решиться обзавестись ребёнком - дело нешуточное. Это значит решиться на то, чтобы отныне и навсегда твоё сердце разгуливало вне твоего тела.
18. Очень мудрая португальская пословица
Шалаш, где смеются, дороже дворца, где плачут.
19. Выслушать…
В жизни нужно иметь один важный принцип - всегда брать трубку, если тебе звонит близкий человек. Даже если ты на него обижен, даже если не хочешь разговаривать, и уже тем более если ты просто хочешь проучить. Нужно обязательно взять трубку и выслушать то, что он хочет тебе сказать. Возможно, это будет что-то по-настоящему важное. А жизнь слишком непредсказуема, и кто знает, услышишь ли ты еще когда-то этого человека вновь.
20. Всё можно пережить
Всё можно пережить в этой жизни, пока есть для чего жить, кого любить, о ком заботиться и кому верить.
21. Ошибки… у кого их не бывает?
Твои ошибки, твоя сила. На кривых корнях, деревья стоят крепче.
22. Простая молитва
Мой Ангел-Хранитель… я снова устала… Дай руку, прошу, и крылом обними… Держи меня крепче, чтоб я не упала… А если споткнусь, Ты меня подними…
23. От великолепной Мерлин Монро)
Характер у меня конечно не ангельский, не всякий выдержит. Ну так извините… и я не для всякого!
24. Общайтесь…
Глупо не общаться с человеком, который тебе дорог. И неважно, что случилось. Его в любой момент может не стать. Представляешь? Навсегда. И ничего не вернёшь.
25. Жизненное измерение
Вы не можете ничего поделать с длиной своей жизни, но можете многое с её шириной и глубиной.
Логика высказываний , называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.
Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.
Рисунок сверху - иллюстрация явления, известного как "Парадокс лжеца". При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет "истины" или "лжи" оцениваются только отдельно взятые высказывания . И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.
Логика высказываний применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений "ложь" или "истина", от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В небольших программах, где задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, "флаг" ("flag") и подразумевается, что "флаг поднят", когда значение этой переменной - "истина" и "флаг опущен", когда значение этой переменной - "ложь". В программах большого объёма, в которых несколько или даже очень много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.
Так, может быть объявлена логическая переменная с именем "ПользовательЗарегистрирован" (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение "истина" при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение ("истина" или "ложь") имеет переменная "ПользовательЗарегистрирован". В других случах переменной, например, с именем "ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней", может быть присвоено значение "Истина" до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на "ложь" и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.
Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.
Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами "истина" и "ложь", а для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается . Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".
Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".
Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3
Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A , B , ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л . В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.
Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания . Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π ² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.
Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л , мы определим далее логические операции над высказываниями , которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.
Пусть даны два произвольных высказывания A и B .
1 . Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".
Таблица истинности для конъюнкции:
| A | B | A ∧ B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
2 . Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B .
Таблица истинности для дизъюнкции:
| A | B | A ∨ B |
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
3 . Третья логическая операция над высказываниями A и B , выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой , B - следствием , а высказывание A → B - следованием , называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A , то B ". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B . Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A , и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".
Таблица истинности для следования (импликации):
| A | B | A → B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
4 . Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A ). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.
Таблица истинности для отрицания:
| A | ~ A |
| Л | И |
| И | Л |
5 . И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.
Таблица истинности для эквивалентности:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | И | Л |
| Л | И | И | Л | Л |
| Л | Л | И | И | И |
В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).
Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.
Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).
| Связка | Обозначение | Название операции |
| не | отрицание | |
| и | конъюнкция | |
| или | дизъюнкция | |
| если..., то... | импликация | |
| тогда и только тогда | эквивалентность |
Для логических операций верны законы алгебры логики , которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.
Пример 1.
1) (2 = 2) И (7 = 7) ;
2) Не(15 ;
3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён") ;
4) Не("Сосна" = "Дуб") ;
5) (Не(15 20) ;
6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж") ;
7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .
1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".
7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".
Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:
1) "Пользователь не зарегистрирован";
2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";
3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".
1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;
2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: ;
3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: .
Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:
1) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время") ;
2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;
3) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево") ;
4) Не((300 > 100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой")) ;
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:
1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";
2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";
Пример 5. Определите логическое значение выражения
(p → q ) ↔ (r → s ) ,
p = "278 > 5" ,
q = "Яблоко = Апельсин" ,
p = "0 = 9" ,
s = "Шапка покрывает голову" .
Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний .
В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.
Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы
p , q , r , ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...
Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения "истина" и "ложь". Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами .
Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций
~, ∧, ∨, →, ↔,
а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул - левая и правая скобки.
Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:
1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;
2) если A и B - формулы логики высказываний, то ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) тоже являются формулами логики высказываний;
3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).
Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).
Пример 6. Пусть p - одиночное высказывание (атом) "Все рациональные числа являются действительными", q - "Некоторые действительные числа - рациональные числа", r - "некоторые рациональные числа являются действительными". Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:
6) 
.
1) "нет действительных чисел, которые являются рациональными";
2) "если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными";
3) "если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными";
4) "все действительные числа - рациональные числа и некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами";
5) "все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными";
6) "не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными".
Пример 7.
Составьте таблицу истинности для формулы
логики высказываний 
, которую в
таблице можно обозначить f
.
Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений ("истина" или "ложь") для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно "лжи" тогда, когда из "истины" следует "ложь".
| p | q | r | f | ||||
| И | И | И | И | И | И | И | И |
| И | И | Л | И | И | И | Л | И |
| И | Л | И | И | Л | Л | Л | Л |
| И | Л | Л | И | Л | Л | И | И |
| Л | И | И | Л | И | Л | И | И |
| Л | И | Л | Л | И | Л | И | Л |
| Л | Л | И | И | И | И | И | И |
| Л | Л | Л | И | И | И | Л | И |
Заметим, что никакой атом не имеет вида ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) . Такой вид имеют сложные формулы.
Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что
1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;
2) упорядочим знаки логических операций "по старшинству":
↔, →, ∨, ∧, ~ .
В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак ~ - самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая "порядок старшинства". А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака ~ (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.
Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .
Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:
B ↔ (~ C ) ∨ D ∧ A
B ↔ (~ C ) ∨ (D ∧ A )
B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A ))
(B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A )))
Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C ) и ~ (A → B ) дальнейшее исключение скобок невозможно.
Логические тавтологии (или просто тавтологии) - это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.
Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно "истина" и "ложь") всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.
Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "истина" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией .
Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.
Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "ложь" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием .
Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.
Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.
Решение. Составляем таблицу истинности:
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | Л | И |
| Л | И | Л | И | И |
| Л | Л | Л | Л | И |
В значениях импликации не встречаем строку, в которой из "истины" следует "ложь". Все значения исходного высказывания равны "истине". Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.
Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. В алгебре простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные (А, В, С и т.д.)
Логическая переменная
– это простое высказывание.
Логические переменные обозначаются прописными и строчными латинскими буквами (a-z, A-Z) и могут принимать всего два значения – 1, если высказывание истинно, или 0, если высказывание ложно.
Пример высказываний:
Логическая функция – это сложное высказывание, которое получается в результате проведения логических операций над простыми высказываниями.
Для образования сложных высказываний наиболее часто используются базовые логические операции
, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».
Например,
Многие люди не любят сырую погоду .
Пусть А = «Многие люди любят сырую погоду». Получаем логическую функцию F(A) = не А.
Связки “НЕ”, “И”, “ИЛИ” заменяются логическими операциями инверсия , конъюнкция , дизъюнкция . Это основные логические операции , при помощи которых можно записать любое логическое выражение.
Логическая формула (логическое выражение) – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).
Значение логической функции зависит от значений входящих в нее логических переменных. Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности ), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.
Основные (базовые) логические операции:
1. Логическое умножение (конъюнкция)
, от лат. konjunctio – связываю:
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза И;
в языках программирования – And.
Принятые обозначения: /\ , , и, and.
В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств.
Конъюнкция истинна тогда и только тогда, все, входящие в нее высказывания истинны.
Пример:
Рассмотрим составное высказывание «2 2 = 4 и 3 3 = 10». Выделим простые высказывания:
В = «3 3 = 10» = 0 (т.к. это ложное высказывание)
Поэтому, логическая функция F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание ложное.
2. Логическое сложение (дизъюнкция)
, от лат. disjunctio – различаю:
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза ИЛИ;
в языках программирования – Or.
Обозначение: \/, +, или, or.
В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств.
Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, все, входящие в нее высказывания ложны.
Пример:
Рассмотрим составное высказывание «2 2 = 4 или 2 2 = 5». Выделим простые выска-зывания:
А = «2 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание)
В = «2 2 = 5» = 0 (т.к. это ложное высказывание)
Поэтому, логическая функция F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание истинно.
3. Отрицание (инверсия) , от лат. InVersion – переворачиваю:
Соответствует частице НЕ, словосочетаниям НЕВЕРНО, ЧТО или НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ИСТИНОЙ, ЧТО;
в языках программирования – Not;
Обозначение: не А, ¬А, not
В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества.
Инверси я логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.
Пример:
А = {два умножить на два равно четырем} = 1.
¬A= {Неверно, что два умножить на два равно четырем}= 0.
Рассмотрим высказывание А: “Луна - спутник Земли “; тогда ¬А будет формулироваться так: “Луна - не спутник Земли “.
Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится на 3». Обозначим через А простое высказывание «4 делится на 3». Тогда логическая форма отрицания этого высказывания имеет вид ¬А
Приоритет логических операций:
Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в
следующем порядке
:
1. инверсия;
2. конъюнкция;
3. дизъюнкция;
Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.
Составные логические выражения
алгебры высказываний называют формулами.
Истинно или ложно значение формулы можно определить законами алгебры логики, не обращаясь к смыслу:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 – истина
F = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 – ложь
Умные мысли приходят лишь тогда, когда глупости уже сделаны.
Только те, кто предпринимает абсурдные попытки, смогут достичь невозможного. Альберт Эйнштейн
Хорошие друзья, хорошие книги и спящая совесть — вот идеальная жизнь. Марк Твен
Нельзя вернуться в прошлое и изменить свой старт, но можно стартовать сейчас и изменить свой финиш.
При ближайшем рассмотрении мне вообще становится ясно, что те перемены, которые как будто наступают с ходом времени, по сути никакие не перемены: меняется только мой взгляд на вещи. (Франц Кафка)
И хоть велик соблазн по сразу двум идти дорогам, нельзя одной колодой карт играть и с дьяволом и с Богом…
Цените тех, с кем можно быть собой.
Без масок, недомолвок и амбиций.
И берегите их, они вам посланы судьбой.
Ведь в вашей жизни их - лишь единицы
Для утвердительного ответа достаточно лишь одного слова - «да». Все прочие слова придуманы, чтобы сказать «нет». Дон-Аминадо
Спроси у человека: «Что такое счастье?» и ты узнаешь, чего ему больше всего не хватает.
Если хочешь понять жизнь, то перестань верить тому, что говорят и пишут, а наблюдай и чувствуй. Антон Чехов
В мире нет ничего разрушительнее, невыносимее, как бездействие и ожидание.
Воплощайте свои мечты в реальность, работайте над идеями. Те кто над вами раньше смеялись начнут завидовать.
Рекорды существуют для того, чтобы их бить.
Нужно не тратить время, а инвестировать в него.
История человечества – это история достаточно небольшого числа людей, которые поверили в себя.
Довёл себя до края? Не видишь смысла больше жить? Значит, ты уже близок… Близок к решению дойти до дна, чтобы оттолкнуться от него и навсегда решить быть счастливым.. Так что не бойся дна - используй его….
Если вы честны и откровенны, то люди будут обманывать вас; всё равно будьте честны и откровенны.
Человек редко преуспевает в чем бы то ни было, если его занятие не доставляет ему радости. Дейл Карнеги
Если в твоей душе осталась хоть одна цветущая ветвь, на неё всегда сядет поющая птица.(Восточная мудрость)
Один из законов жизни гласит, что как только закрывается одна дверь,открывается другая. Но вся беда в том, что мы смотрим на запертую дверь и не обращаем внимания на открывшуюся. Андре Жид
Не судите человека, пока не поговорите с ним лично, потому что всё, что вы слышите — слухи. Майкл Джексон.
Сначала тебя игнорируют, затем над тобой смеются, затем с тобой борются, затем ты побеждаешь. Махатма Ганди
Человеческая жизнь распадается на две половины: в течении первой половины стремятся вперед ко второй, а в течении второй обратно к первой.
Если ты сам ничего не делаешь, как тебе можно помочь? Управлять можно только движущимся автомобилем
Все будет. Только когда ты решишься на это.
В этом мире можно искать всё, кроме любви и смерти… Они сами тебя найдут, когда придет время.
Внутренняя удовлетворённость наперекор окружающему миру страданий – очень ценное достояние. Шридхар Махарадж
Начинай уже сейчас жить той жизнью, какой ты хотел бы видеть ее в конце. Марк Аврелий
Надо каждый день жить как в последний миг. У нас не репетиция - у нас жизнь. Мы не начинаем ее с понедельника - мы живем сегодня.
Каждое мгновенье жизни - еще одна возможность.
Год спустя ты будешь смотреть на мир другими глазами и даже это дерево, что растёт возле твоего дома, покажется тебе иным.
Счастье не надо искать - им надо быть. Ошо
Почти каждая история успеха, которая мне известна, начиналась с того, что человек лежал навзничь, поверженный неудачами. Джим Рон
Каждый долгий путь начинается с одного, с первого шага.
Никто не лучше Вас. Никто не умнее Вас. Просто они начали раньше. Брайан Трейси
Падает тот, кто бежит. Тот, кто ползет, не падает. Плиний Старший
Достаточно лишь понять, что живёшь в будущем, как сразу там и окажешься.
Я выбираю жить, а не существовать. James Alan Hetfield
Когда ты будешь ценить то, что у тебя есть, а не жить в поиске идеалов, тогда ты по-настоящему станешь счастливым..
О нас думают плохо лишь те, кто хуже нас, а те, кто лучше нас, им просто не до нас. Омар Хайям
Иногда от счастья нас отделяет один звонок… Один разговор… Одно признание…
Признавая свою слабость, человек становится сильным. Онре Бальзак
Тот, кто смиряет дух свой, сильнее того, кто покоряет города.
Когда шанс выпадает - надо его хватать. А когда ухватил, добился успеха - насладись. Ощути радость. И пусть вокруг все сосут у тебя шланг за то, что были козлами, когда не давали за тебя и гроша. А дальше - уйди. Красиво. И всех оставить в шоке.
Никогда не отчаивайтесь. А если вы уже впали в отчаяние, то продолжайте работать и в отчаянии.
Решительный шаг вперед - результат хорошего пинка сзади!
В России надо быть или известным или богатым, чтобы к тебе относились так, как в Европе относятся к любому. Константин Райкин
Все зависит только от вашего отношения. (Чак Норрис)
Никакие рассуждения не в состоянии указать человеку путь, которого он не хочет видеть Ромен Роллан
То, во что ты веришь, становится твоим миром. Ричард Матесон
Там хорошо, где нас нет. В прошлом нас уже нет, и поэтому оно кажется прекрасным. Антон Чехов
Богатые становятся еще богаче потому, что учатся преодолевать финансовые трудности. Они видят в них возможность учиться, расти, развиваться и богатеть.
У каждого свой ад - это не обязательно огонь и смола! Наш ад - это жизнь впустую! Куда приводят мечты
Совершенно не важно как много ты работаешь, главное результат.
Только у мамы самые ласковые руки, самая нежная улыбка и самое любящее сердце…
Победители по жизни всегда думают в духе: я могу, я хочу, я. Неудачники, наоборот, сосредотачивают свои рассеянные мысли на том, что они могли бы иметь, могли бы сделать или что они не могут делать. Другими словами, победители берут всегда ответственность на себя, а лузеры винят в своих неудачах обстоятельства или других людей. Дэнис Вэйтли.
Жизнь — гора поднимаешься медленно, спускаешься быстро. Ги де Мопассан
Люди так боятся сделать шаг навстречу новой жизни, что готовы закрыть глаза на все, что их не устраивает. Но это еще страшнее: проснуться однажды и осознать, что рядом все не то, не то, не то… Бернард Шоу
Дружба и доверие не покупаются и не продаются.
Всегда, в каждую минуту своей жизни, даже когда Вы абсолютно счастливы, имейте одну установку в отношении окружающих Вас людей: - Я в любом случае сделаю то, чего хочу, с вами или без Вас.
В мире только и можно выбирать между одиночеством и пошлостью. Артур Шопенгауэр
Стоит только иначе взглянуть на вещи, и жизнь потечёт в ином направлении.
Железо так говорило магниту: больше всего я тебя ненавижу за то, что ты притягиваешь, не имея достаточно сил, чтобы тащить за собой! Фридрих Ницше
Умей жить и тогда, когда жизнь становится невыносимой. Н. Островский
Картина которую ты видишь в своем разуме, со временем станет твоей жизнью.
«Первую половину жизни спрашиваешь себя, на что ты способен, но вторую — а кому это нужно?»
Никогда не поздно поставить новую цель или обрести новую мечту.
Управляйте своей судьбой, или это сделает кто-то другой.
красоту увидеть в некрасивом,
разглядеть в ручьях разливы рек…
кто умеет в буднях быть счастливым,
тот и впрямь счастливый человек! Э. Асадов
У мудреца спросили:
Сколько видов дружбы существует?
Четыре — ответил он.
Есть друзья, как еда — каждый день ты нуждаешься в них.
Есть друзья, как лекарство, ищешь их, когда тебе плохо.
Есть друзья, как болезнь, они сами ищут тебя.
Но есть такие друзья, как воздух — их не видно, но они всегда с тобой.
Я стану человеком, которым я хочу стать, - если я поверю, что я им стану. Ганди
Откройте свое сердце и прислушайтесь к тому, о чем оно мечтает. Следуйте за своей мечтой, потому что только через того, кто себя не стыдится, проявится слава Господня. Пауло Коэльо
Быть опровергнутым – этого опасаться нечего; опасаться следует другого – быть непонятым. Иммануил Кант
Будьте реалистами — требуйте невозможного! Че Гевара
Не откладывай свои планы, если на улице дождь.
Не отказывайся от мечты, если в тебя не верят люди.
Иди наперекор природе, людям. Ты личность. Ты сильный.
И запомни — нет недостижимых целей - есть высокий коэффициент лени, недостаток смекалки и запас отговорок.
Или ты создаешь мир, или мир создает тебя. Джек Николсон
Я люблю, когда люди улыбаются просто так. Едешь, например, в автобусе и видишь, как человек смотрит в окно или пишет смс и улыбается. Так хорошо становится на душе. И самому хочется улыбаться.
Даже под самой суровой и грубой оболочкой порой скрывается нежная душа и чуткое сердце. Стивен Кови
