Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = а
х - угол, который нужно найти,
а - любое число.
А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.
Для синуса:
Для косинуса:
х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Для тангенса:
х = arctg a + π n, n ∈ Z
Для котангенса:
х = arcctg a + π n, n ∈ Z
Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?
Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло...) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)
Разберёмся?
Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.
И так будет получаться всегда. При любом а.
Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.
Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:
х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
х 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Объединяем эти две серии в одну:
х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z
И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.
Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания "С" будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала... Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.
В простейшем тригонометрическом уравнении
sinx = а
тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:
х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!
Проверим математиков? А то мало ли...)
В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:
В ответе получились две серии корней:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:
х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π /6. Полноценный ответ будет:
х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z
Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) - одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)
Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:
х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.
При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:
х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.
А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4...) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:
х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.
Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)
Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.
Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.
Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.
И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)
Можно подвести итоги.
Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:
sinx = 0,3
Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:
х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
то блистаете вы уже, это... того... из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. - ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.
А если уж вам попалось неравенство, типа
то ответ в виде:
х πn, n ∈ Z
есть редкая ахинея, да...) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.
Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)
Бонус:
При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово - два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там - два.
Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений
при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.
Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения
, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.
Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.
Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Используя формулы приведения получим:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2
Теперь идем в обратном порядке
Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:
Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?
Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:
sin x + cos x – 1 = 0
Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Делаем разложение на множители:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Получаем два уравнения
Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:
а) переносят все его члены в левую часть;
б) выносят все общие множители за скобки;
в) приравнивают все множители и скобки к 0;
г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;
д) решают полученное уравнение относительно tg.
Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Делим на cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:
y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3
Отсюда находим два решения исходного уравнения:
x 2 = arctg 3 + k
Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7
Переходим к x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Пререносим все влево:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Делим на cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.
Обе части уравнения разделим на :
Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:
cos * sin x + sin * cos x = С
или sin(x + ) = C
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет
х = (-1) k * arcsin С - + k, где
Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.
Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1
В этом уравнении коэффициенты:
а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2
\(2\sin{x} = \sqrt{3}\)
tg\({3x}=-\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:
\(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)
где \(t\) – выражение с иксом, \(a\) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими . Их легко решать с помощью () или специальных формул:
Ответ: \(\left[ \begin{gathered}x=-\frac{π}{6}+2πk, \\ x=-\frac{5π}{6}+2πn, \end{gathered}\right.\)\(k,n∈Z\)
Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в .
Внимание! Уравнения \(\sinx=a\) и \(\cosx=a\) не имеют решений, если \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны \(-1\) и меньше или равны \(1\):
\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
Пример
. Решить уравнение \(\cosx=-1,1\).
Решение:
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Ответ
: решений нет.
Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого: |
Пример
. Решите тригонометрическое уравнение \(\cos(3x+\frac{π}{4})=0\).
Решение:
|
Опять воспользуемся числовой окружностью. \(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=-\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\) 8) Как обычно в уравнениях будем выражать \(x\). \(3x=-\)\(\frac{π}{4}\)
\(+\)\(\frac{π}{2}\)
\(+2πk\) \(3x=-\)\(\frac{π}{4}\)
\(+\)\(\frac{π}{2}\)
\(+2πk\) |
Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и , и особые методы решений уравнений:
- Метод (самый популярный в ЕГЭ).
- Метод .
- Метод вспомогательных аргументов.
Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения
Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\)
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Сделаем замену \(t=\cosx\). |
Наше уравнение превратилось в типичное . Можно его решить с помощью . |
|
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
|
\(t_1=\)\(\frac{5-3}{4}\) \(=\)\(\frac{1}{2}\) ; \(t_2=\)\(\frac{5+3}{4}\) \(=2\) |
Делаем обратную замену. |
\(\cosx=\)\(\frac{1}{2}\); \(\cosx=2\) |
Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности. |
Запишем все числа, лежащие на в этих точках. |
Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:
Пример(ЕГЭ) . Решите тригонометрическое уравнение \(=0\)
\(\frac{2\cos^2x-\sin{2x}}{ctg x}\) \(=0\) |
Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать . Напомню, что котангенс это фактически дробь: ctg\(x=\)\(\frac{\cosx}{\sinx}\) Потому ОДЗ для ctg\(x\): \(\sinx≠0\). |
ОДЗ: ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\) \(x≠±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Отметим «нерешения» на числовой окружности. |
\(\frac{2\cos^2x-\sin{2x}}{ctg x}\) \(=0\) |
Избавимся в уравнении от знаменателя, умножив его на ctg\(x\). Мы можем это сделать, так как выше написали, что ctg\(x ≠0\). |
\(2\cos^2x-\sin{2x}=0\) |
Применим формулу двойного угла для синуса: \(\sin{2x}=2\sinx\cosx\). |
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Если у вас руки потянулись поделить на косинус – одерните их! Делить на выражение с переменной можно если оно точно не равно нулю (например, такие: \(x^2+1,5^x\)). Вместо этого вынесем \(\cosx\) за скобки. |
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
«Расщепим» уравнение на два. |
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
Первое уравнение с решим с помощью числовой окружности. Второе уравнение поделим на \(2\) и перенесем \(\sinx\) в правую часть. |
\(x=±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
Корни, которые получились не входят в ОДЗ. Поэтому их в ответ записывать не будем. |
Опять используем окружность. |
|
|
Эти корни не исключаются ОДЗ, поэтому можно их записывать в ответ. |
Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!
Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.
Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.
1. Уравнение `sin x=a`.
При `|a|>1` не имеет решений.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.
Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение `tg x=a`
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
Рассмотрим на примерах основные методы решения.
В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.
Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,
находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.
Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:
`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).
Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.
Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.
Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:
`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:
Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.
Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Применив описанный выше алгебраический метод, получим:
Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:
`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.
Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Подробнее рассмотрим на следующем примере:
Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.
Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:
`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.
Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.
Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`
`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`
Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!
Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.