Наряду с прямо пропорциональными величинами в арифметике рассматривались также и величины обратно пропорциональные.
Приведём примеры.
1) Длины основания и высоты прямоугольника при постоянной площади.
Пусть требуется выделить для огорода прямоугольный участок площадью в
Мы «можем произвольно установить, например, длину участка. Но тогда ширина участка будет зависеть от того, какую длину мы выбрали. Различные (возможные) значения длины и ширины приведены в таблице.
Вообще, если обозначить длину участка через х, а ширину - через у, то зависимость между ними можно выразить формулой:
Выразив у через х, получим:
Давая х произвольные значения, будем получать соответствующие значения у.
2) Время и скорость равномерного движения при определённом расстоянии.
Пусть расстояние между двумя городами равно 200 км. Чем больше будет скорость движения, тем меньше времени потребуется, чтобы проехать данное расстояние. Это видно из следующей таблицы:
Вообще, если обозначить скорость через х, а время движения - через у, то зависимость между ними выразится формулой:
Определение. Зависимость между двумя величинами выраженная равенством , где k - определённое число (не равное нулю), называется обратно пропорциональной зависимостью.
Число и здесь называется коэффициентом пропорциональности.
Так же, как и в случае прямой пропорциональности, в равенстве величины х и у в общем случае могут принимать положительные и отрицательные значения.
Но во всех случаях обратной пропорциональности ни одна из величин не может быть равной нулю. В самом деле, если хоть одна из величин х или у будет равна нулю, то в равенстве левая часть будет равна ну
А правая - некоторому числу, не равному нулю (по определению), то есть получится неверное равенство.
Построим график зависимости
Выразив у через х, получим:
Будем давать х произвольные (допустимые) значения и вычислим соответствующие значения у. Получим таблицу:
Построим соответствующие точки (черт. 28).
Если будем брать значения х через меньшие промежутки, то и точки расположатся теснее.
При всевозможных значениях х соответствующие точки расположатся на двух ветвях графика, симметричных относительно начала координат и проходящих в I и III четвертях координатной плоскости (черт. 29).
Итак, мы видим, что графиком обратной пропорциональности является кривая линия. Эта линия состоит из двух ветвей.
Одна ветвь получится при положительных, другая - при отрицательных значениях х.
График обратно пропорциональной зависимости называется гиперболой.
Чтобы получить более точный график, надо строить возможно больше точек.
С достаточно большой точностью гиперболу можно начертить, пользуясь, например, лекалами.
На чертеже 30 построен график обратно пропорциональной зависимости с отрицательным коэффициентом. Составив, например, такую таблицу:
получим гиперболу, ветви которой расположены во II и IV четвертях.
Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .
Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.
Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:
f (x ) = a x ,a = c o n s t
Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).
Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:
Свойства функции:
Wikimedia Foundation . 2010 .
прямая пропорциональность - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN direct ratio … Справочник технического переводчика
прямая пропорциональность - tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. прямая пропорциональность, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный … Толковый словарь Ушакова
Пропорциональность - Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… … Толковый словарь Ожегова
пропорциональность - и; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… … Энциклопедический словарь
I. Прямо пропорциональные величины.
Пусть величина y зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.
Примеры.
1 . Количество купленного товара и стоимость покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.) Во сколько раз больше товара купили, во столько раз больше и заплатили.
2 . Пройденный путь и затраченное на него время (при постоянной скорости). Во сколько раз длиннее путь, во столько раз больше потратим времени на то, чтобы его пройти.
3 . Объем какого-либо тела и его масса. (Если один арбуз в 2 раза больше другого, то и масса его будет в 2 раза больше )
II. Свойство прямой пропорциональности величин.
Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.
Задача 1. Для малинового варенья взяли 12 кг малины и 8 кг сахара. Сколько сахара потребуется, если взяли 9 кг малины?
Решение.
Рассуждаем так: пусть потребуется х кг сахара на 9 кг малины. Масса малины и масса сахара — прямо пропорциональные величины: во сколько раз меньше малины, во столько же раз нужно меньше сахара. Следовательно, отношение взятой (по массе) малины (12:9 ) будет равно отношению взятого сахара (8:х ). Получаем пропорцию:
12: 9=8: х;
х=9· 8: 12;
х=6. Ответ: на 9 кг малины нужно взять 6 кг сахара.
Решение задачи можно было оформить и так:
Пусть на 9 кг малины нужно взять х кг сахара.
(Стрелки на рисунке направлены в одну сторону, а вверх или вниз — не имеет значения. Смысл: во сколько раз число 12 больше числа 9 , во столько же раз число 8 больше числа х , т. е. здесь прямая зависимость).
Ответ: на 9 кг малины надо взять 6 кг сахара.
Задача 2. Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км . За какое время он проедет 440 км , если будет ехать с той же скоростью?
Решение.
Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.
Ответ:
автомобиль пройдет 440 км за 5 часов.
Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .
Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.
Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:
f (x ) = a x ,a = c o n s t
Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).
Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:
Свойства функции:
Wikimedia Foundation . 2010 .
